src/ata.ml

   1 (***********************************************************************)
   2 (*                                                                     *)
   3 (*                               TAToo                                 *)
   4 (*                                                                     *)
   5 (*                     Kim Nguyen, LRI UMR8623                         *)
   6 (*                   Université Paris-Sud & CNRS                       *)
   7 (*                                                                     *)
   8 (*  Copyright 2010-2013 Université Paris-Sud and Centre National de la *)
   9 (*  Recherche Scientifique. All rights reserved.  This file is         *)
  10 (*  distributed under the terms of the GNU Lesser General Public       *)
  11 (*  License, with the special exception on linking described in file   *)
  12 (*  ../LICENSE.                                                        *)
  13 (*                                                                     *)
  14 (***********************************************************************)
  15
  16 INCLUDE "utils.ml"
  17 open Format
  18 open Misc
  19 type move = [ `First_child
  20             | `Next_sibling
  21             | `Parent
  22             | `Previous_sibling
  23             | `Stay ]
  24
  25 module Move =
  26   struct
  27     type t = move
  28     type 'a table = 'a array
  29     let idx = function
  30       | `First_child -> 0
  31       | `Next_sibling -> 1
  32       | `Parent -> 2
  33       | `Previous_sibling -> 3
  34       | `Stay -> 4
  35     let ridx = function
  36       | 0 -> `First_child
  37       | 1 -> `Next_sibling
  38       | 2 -> `Parent
  39       | 3 -> `Previous_sibling
  40       | 4 -> `Stay
  41       | _ -> assert false
  42
  43     let create_table a = Array.make 5 a
  44     let get m k = m.(idx k)
  45     let set m k v = m.(idx k) <- v
  46     let iter f m = Array.iteri (fun i v -> f (ridx i) v) m
  47     let fold f m acc =
  48       let acc = ref acc in
  49       iter (fun i v -> acc := f i v !acc) m;
  50       !acc
  51     let for_all p m =
  52       try
  53         iter (fun i v -> if not (p i v) then raise Exit) m;
  54         true
  55       with
  56         Exit -> false
  57     let for_all2 p m1 m2 =
  58       try
  59         for i = 0 to 4 do
  60           let v1 = m1.(i)
  61           and v2 = m2.(i) in
  62           if not (p (ridx i) v1 v2) then raise Exit
  63         done;
  64         true
  65       with
  66         Exit -> false
  67
  68     let exists p m =
  69       try
  70         iter (fun i v -> if p i v then raise Exit) m;
  71         false
  72       with
  73         Exit -> true
  74     let print ppf m =
  75       match m with
  76         `First_child -> fprintf ppf "%s" Pretty.down_arrow
  77       | `Next_sibling -> fprintf ppf "%s" Pretty.right_arrow
  78       | `Parent -> fprintf ppf "%s" Pretty.up_arrow
  79       | `Previous_sibling -> fprintf ppf "%s" Pretty.left_arrow
  80       | `Stay -> fprintf ppf "%s" Pretty.bullet
  81
  82     let print_table pr_e ppf m =
  83       iter (fun i v -> fprintf ppf "%a: %a" print i pr_e v;
  84         if (idx i) < 4 then fprintf ppf ", ") m
  85   end
  86
  87 type predicate = Move of move * State.t
  88                  | Is_first_child
  89                  | Is_next_sibling
  90                  | Is of Tree.NodeKind.t
  91                  | Has_first_child
  92                  | Has_next_sibling
  93
  94 module Atom =
  95 struct
  96
  97   module Node =
  98   struct
  99     type t = predicate
 100     let equal n1 n2 = n1 = n2
 101     let hash n = Hashtbl.hash n
 102   end
 103
 104   include Hcons.Make(Node)
 105
 106   let print ppf a =
 107     match a.node with
 108     | Move (m, q) ->
 109       fprintf ppf "%a%a" Move.print m State.print q
 110     | Is_first_child -> fprintf ppf "%s?" Pretty.up_arrow
 111     | Is_next_sibling -> fprintf ppf "%s?" Pretty.left_arrow
 112     | Is k -> fprintf ppf "is-%a?" Tree.NodeKind.print k
 113     | Has_first_child -> fprintf ppf "%s?" Pretty.down_arrow
 114     | Has_next_sibling -> fprintf ppf "%s?" Pretty.right_arrow
 115
 116 end
 117
 118
 119 module Formula =
 120 struct
 121   include Boolean.Make(Atom)
 122   open Tree.NodeKind
 123   let mk_atom a = atom_ (Atom.make a)
 124   let is k = mk_atom (Is k)
 125
 126   let has_first_child = mk_atom Has_first_child
 127
 128   let has_next_sibling = mk_atom Has_next_sibling
 129
 130   let is_first_child = mk_atom Is_first_child
 131
 132   let is_next_sibling = mk_atom Is_next_sibling
 133
 134   let is_attribute = mk_atom (Is Attribute)
 135
 136   let is_element = mk_atom (Is Element)
 137
 138   let is_processing_instruction = mk_atom (Is ProcessingInstruction)
 139
 140   let is_comment = mk_atom (Is Comment)
 141
 142   let mk_move m q = mk_atom (Move(m,q))
 143   let first_child q =
 144     and_
 145       (mk_move `First_child q)
 146       has_first_child
 147
 148   let next_sibling q =
 149   and_
 150     (mk_move `Next_sibling q)
 151     has_next_sibling
 152
 153   let parent q =
 154   and_
 155     (mk_move `Parent  q)
 156     is_first_child
 157
 158   let previous_sibling q =
 159   and_
 160     (mk_move `Previous_sibling q)
 161     is_next_sibling
 162
 163   let stay q = mk_move `Stay q
 164
 165   let get_states_by_move phi =
 166     let table = Move.create_table StateSet.empty in
 167     iter (fun phi ->
 168       match expr phi with
 169       | Boolean.Atom ({ Atom.node = Move(v,q) ; _ }, _) ->
 170         let s = Move.get table v in
 171         Move.set table v (StateSet.add q s)
 172       | _ -> ()
 173     ) phi;
 174     table
 175   let get_states phi =
 176     let table = get_states_by_move phi in
 177     Move.fold (fun _ s acc -> StateSet.union s acc) table StateSet.empty
 178
 179 end
 180
 181 module Transition =
 182   struct
 183     include Hcons.Make (struct
 184   type t = State.t * QNameSet.t * Formula.t
 185   let equal (a, b, c) (d, e, f) =
 186     a == d && b == e && c == f
 187   let hash (a, b, c) =
 188     HASHINT4 (PRIME1, a, ((QNameSet.uid b) :> int), ((Formula.uid c) :> int))
 189 end)
 190     let print ppf t =
 191       let q, l, f = t.node in
 192       fprintf ppf "%a, %a %s %a"
 193         State.print q
 194         QNameSet.print l
 195         Pretty.double_right_arrow
 196         Formula.print f
 197   end
 198
 199
 200 module TransList : sig
 201   include Hlist.S with type elt = Transition.t
 202   val print : Format.formatter -> ?sep:string -> t -> unit
 203 end =
 204   struct
 205     include Hlist.Make(Transition)
 206     let print ppf ?(sep="\n") l =
 207       iter (fun t ->
 208         let q, lab, f = Transition.node t in
 209         fprintf ppf "%a, %a → %a%s"
 210           State.print q
 211           QNameSet.print lab
 212           Formula.print f sep) l
 213   end
 214
 215
 216
 217 type t = {
 218   id : Uid.t;
 219   mutable states : StateSet.t;
 220   mutable starting_states : StateSet.t;
 221   mutable selecting_states: StateSet.t;
 222   transitions: (State.t, (QNameSet.t*Formula.t) list) Hashtbl.t;
 223   mutable ranked_states : StateSet.t array
 224 }
 225
 226 let uid t = t.id
 227
 228 let get_states a = a.states
 229 let get_starting_states a = a.starting_states
 230 let get_selecting_states a = a.selecting_states
 231 let get_states_by_rank a = a.ranked_states
 232 let get_max_rank a = Array.length a.ranked_states - 1
 233
 234 let _pr_buff = Buffer.create 50
 235 let _str_fmt = formatter_of_buffer _pr_buff
 236 let _flush_str_fmt () = pp_print_flush _str_fmt ();
 237   let s = Buffer.contents _pr_buff in
 238   Buffer.clear _pr_buff; s
 239
 240 let print fmt a =
 241   let _ = _flush_str_fmt() in
 242   fprintf fmt
 243     "Internal UID: %i@\n\
 244      States: %a@\n\
 245      Number of states: %i@\n\
 246      Starting states: %a@\n\
 247      Selection states: %a@\n\
 248      Ranked states: %a@\n\
 249      Alternating transitions:@\n"
 250     (a.id :> int)
 251     StateSet.print a.states
 252     (StateSet.cardinal a.states)
 253     StateSet.print a.starting_states
 254     StateSet.print a.selecting_states
 255     (let r = ref 0 in Pretty.print_array ~sep:", " (fun ppf s ->
 256       fprintf ppf "%i:%a" !r StateSet.print s; incr r)) a.ranked_states;
 257   let trs =
 258     Hashtbl.fold
 259       (fun q t acc -> List.fold_left (fun acc (s , f) -> (q,s,f)::acc) acc t)
 260       a.transitions
 261       []
 262   in
 263   let sorted_trs = List.stable_sort (fun (q1, s1, _) (q2, s2, _) ->
 264     let c = State.compare q2 q1 in if c == 0 then QNameSet.compare s2 s1 else c)
 265     trs
 266   in
 267   let _ = _flush_str_fmt () in
 268   let strs_strings, max_pre, max_all =
 269     List.fold_left (fun (accl, accp, acca) (q, s, f) ->
 270       let s1 = State.print _str_fmt q; _flush_str_fmt () in
 271       let s2 = QNameSet.print _str_fmt s;  _flush_str_fmt () in
 272       let s3 = Formula.print _str_fmt f;  _flush_str_fmt () in
 273       let pre = Pretty.length s1 + Pretty.length s2 in
 274       let all = Pretty.length s3 in
 275       ( (q, s1, s2, s3) :: accl, max accp pre, max acca all)
 276     ) ([], 0, 0) sorted_trs
 277   in
 278   let line = Pretty.line (max_all + max_pre + 6) in
 279   let prev_q = ref State.dummy in
 280   fprintf fmt "%s@\n" line;
 281   List.iter (fun (q, s1, s2, s3) ->
 282     if !prev_q != q && !prev_q != State.dummy then fprintf fmt "%s@\n"  line;
 283     prev_q := q;
 284     fprintf fmt "%s, %s" s1 s2;
 285     fprintf fmt "%s"
 286       (Pretty.padding (max_pre - Pretty.length s1 - Pretty.length s2));
 287     fprintf fmt " %s  %s@\n" Pretty.right_arrow s3;
 288   ) strs_strings;
 289   fprintf fmt "%s@\n" line
 290
 291
 292 let get_trans a tag states =
 293   StateSet.fold (fun q acc0 ->
 294     try
 295       let trs = Hashtbl.find a.transitions q in
 296       List.fold_left (fun acc1 (labs, phi) ->
 297         if QNameSet.mem tag labs then
 298           TransList.cons (Transition.make (q, labs, phi)) acc1
 299         else acc1) acc0 trs
 300     with Not_found -> acc0
 301   ) states TransList.nil
 302
 303
 304 let get_form a tag q =
 305   try
 306     let trs = Hashtbl.find a.transitions q in
 307     List.fold_left (fun aphi (labs, phi) ->
 308       if QNameSet.mem tag labs then Formula.or_ aphi phi else aphi
 309     ) Formula.false_ trs
 310   with
 311     Not_found -> Formula.false_
 312
 313 (*
 314   [complete transitions a] ensures that for each state q
 315   and each symbols s in the alphabet, a transition q, s exists.
 316   (adding q, s -> F when necessary).
 317 *)
 318
 319 let complete_transitions a =
 320   StateSet.iter (fun q ->
 321     if StateSet.mem q a.starting_states then ()
 322     else
 323       let qtrans = Hashtbl.find a.transitions q in
 324       let rem =
 325         List.fold_left (fun rem (labels, _) ->
 326           QNameSet.diff rem labels) QNameSet.any qtrans
 327       in
 328       let nqtrans =
 329         if QNameSet.is_empty rem then qtrans
 330         else
 331           (rem, Formula.false_) :: qtrans
 332       in
 333       Hashtbl.replace a.transitions q nqtrans
 334   ) a.states
 335
 336 (* [cleanup_states] remove states that do not lead to a
 337    selecting states *)
 338
 339 let cleanup_states a =
 340   let memo = ref StateSet.empty in
 341   let rec loop q =
 342     if not (StateSet.mem q !memo) then begin
 343       memo := StateSet.add q !memo;
 344       let trs = try Hashtbl.find a.transitions q with Not_found -> [] in
 345       List.iter (fun (_, phi) ->
 346         StateSet.iter loop (Formula.get_states phi)) trs
 347     end
 348   in
 349   StateSet.iter loop a.selecting_states;
 350   let unused = StateSet.diff a.states !memo in
 351   StateSet.iter (fun q -> Hashtbl.remove a.transitions q) unused;
 352   a.states <- !memo
 353
 354 (* [normalize_negations a] removes negative atoms in the formula
 355    complementing the sub-automaton in the negative states.
 356    [TODO check the meaning of negative upward arrows]
 357 *)
 358
 359 let normalize_negations auto =
 360   let memo_state = Hashtbl.create 17 in
 361   let todo = Queue.create () in
 362   let rec flip b f =
 363     match Formula.expr f with
 364       Boolean.True | Boolean.False -> if b then f else Formula.not_ f
 365     | Boolean.Or(f1, f2) ->
 366       (if b then Formula.or_ else Formula.and_)(flip b f1) (flip b f2)
 367     | Boolean.And(f1, f2) ->
 368       (if b then Formula.and_ else Formula.or_)(flip b f1) (flip b f2)
 369     | Boolean.Atom(a, b') -> begin
 370       match a.Atom.node with
 371       | Move (m,  q) ->
 372           if b == b' then begin
 373           (* a appears positively, either no negation or double negation *)
 374             if not (Hashtbl.mem memo_state (q,b)) then Queue.add (q,true) todo;
 375             Formula.mk_atom (Move(m, q))
 376           end else begin
 377         (* need to reverse the atom
 378            either we have a positive state deep below a negation
 379            or we have a negative state in a positive formula
 380            b' = sign of the state
 381            b = sign of the enclosing formula
 382         *)
 383             let not_q =
 384               try
 385             (* does the inverted state of q exist ? *)
 386                 Hashtbl.find memo_state (q, false)
 387               with
 388                 Not_found ->
 389               (* create a new state and add it to the todo queue *)
 390                   let nq = State.make () in
 391                   auto.states <- StateSet.add nq auto.states;
 392                   Hashtbl.add memo_state (q, false) nq;
 393                   Queue.add (q, false) todo; nq
 394             in
 395             Formula.mk_atom (Move (m,not_q))
 396           end
 397       | _ -> if b then f else Formula.not_ f
 398     end
 399   in
 400   (* states that are not reachable from a selection stat are not interesting *)
 401   StateSet.iter (fun q -> Queue.add (q, true) todo) auto.selecting_states;
 402
 403   while not (Queue.is_empty todo) do
 404     let (q, b) as key = Queue.pop todo in
 405     if not (StateSet.mem q auto.starting_states) then
 406       let q' =
 407         try
 408           Hashtbl.find memo_state key
 409         with
 410           Not_found ->
 411             let nq = if b then q else
 412                 let nq = State.make () in
 413                 auto.states <- StateSet.add nq auto.states;
 414                 nq
 415             in
 416             Hashtbl.add memo_state key nq; nq
 417       in
 418       let trans = try Hashtbl.find auto.transitions q with Not_found -> [] in
 419       let trans' = List.map (fun (lab, f) -> lab, flip b f) trans in
 420       Hashtbl.replace auto.transitions q' trans';
 421   done;
 422   cleanup_states auto
 423
 424 (* [compute_dependencies auto] returns a hash table storing for each
 425    states [q] a Move.table containing the set of states on which [q]
 426    depends (loosely). [q] depends on [q'] if there is a transition
 427    [q, {...} -> phi], where [q'] occurs in [phi].
 428 *)
 429 let compute_dependencies auto =
 430   let edges = Hashtbl.create 17 in
 431   StateSet.iter
 432     (fun q -> Hashtbl.add edges q (Move.create_table StateSet.empty))
 433     auto.starting_states;
 434   Hashtbl.iter (fun q trans ->
 435     let moves = try Hashtbl.find edges q with Not_found ->
 436       let m = Move.create_table StateSet.empty in
 437       Hashtbl.add edges q m;
 438       m
 439     in
 440     List.iter (fun (_, phi) ->
 441       let m_phi = Formula.get_states_by_move phi in
 442       Move.iter (fun m set ->
 443         Move.set moves m (StateSet.union set (Move.get moves m)))
 444         m_phi) trans) auto.transitions;
 445
 446   edges
 447
 448 let state_prerequisites dir auto q =
 449   Hashtbl.fold (fun q' trans acc ->
 450     List.fold_left (fun acc (_, phi) ->
 451       let m_phi = Formula.get_states_by_move phi in
 452       if StateSet.mem q (Move.get m_phi dir)
 453       then StateSet.add q' acc else acc)
 454       acc trans) auto.transitions StateSet.empty
 455
 456 let compute_rank auto =
 457   let dependencies = compute_dependencies auto in
 458   let upward = [ `Stay ; `Parent ; `Previous_sibling ] in
 459   let downward = [ `Stay; `First_child; `Next_sibling ] in
 460   let swap dir = if dir == upward then downward else upward in
 461   let is_satisfied dir q t =
 462     Move.for_all (fun d set ->
 463       if List.mem d dir then
 464         StateSet.(is_empty (remove q set))
 465       else StateSet.is_empty set) t
 466   in
 467   let update_dependencies dir initacc =
 468     let rec loop acc =
 469       let new_acc =
 470         Hashtbl.fold (fun q deps acc ->
 471           let to_remove = StateSet.union acc initacc in
 472           List.iter
 473             (fun m ->
 474               Move.set deps m (StateSet.diff (Move.get deps m) to_remove)
 475             )
 476             dir;
 477           if is_satisfied dir q deps then StateSet.add q acc else acc
 478         ) dependencies acc
 479       in
 480       if acc == new_acc then new_acc else loop new_acc
 481     in
 482     let satisfied = loop StateSet.empty in
 483     StateSet.iter (fun q ->
 484       Hashtbl.remove dependencies q) satisfied;
 485     satisfied
 486   in
 487   let current_states = ref StateSet.empty in
 488   let rank_list = ref [] in
 489   let rank = ref 0 in
 490   let current_dir = ref upward in
 491   let detect_cycle = ref 0 in
 492   while Hashtbl.length dependencies != 0 do
 493     let new_sat = update_dependencies !current_dir !current_states in
 494     if StateSet.is_empty new_sat then incr detect_cycle;
 495     if !detect_cycle > 2 then assert false;
 496     rank_list := (!rank, new_sat) :: !rank_list;
 497     rank := !rank + 1;
 498     current_dir := swap !current_dir;
 499     current_states := StateSet.union new_sat !current_states;
 500   done;
 501   let by_rank = Hashtbl.create 17 in
 502   List.iter (fun (r,s) ->
 503     let set = try Hashtbl.find by_rank r with Not_found -> StateSet.empty in
 504     Hashtbl.replace by_rank r (StateSet.union s set)) !rank_list;
 505   auto.ranked_states <-
 506     Array.init (Hashtbl.length by_rank) (fun i -> Hashtbl.find by_rank i)
 507
 508
 509 module Builder =
 510   struct
 511     type auto = t
 512     type t = auto
 513     let next = Uid.make_maker ()
 514
 515     let make () =
 516       let auto =
 517         {
 518           id = next ();
 519           states = StateSet.empty;
 520           starting_states = StateSet.empty;
 521           selecting_states = StateSet.empty;
 522           transitions = Hashtbl.create MED_H_SIZE;
 523           ranked_states = [| |]
 524         }
 525       in
 526       auto
 527
 528     let add_state a ?(starting=false) ?(selecting=false) q =
 529       a.states <- StateSet.add q a.states;
 530       if starting then a.starting_states <- StateSet.add q a.starting_states;
 531       if selecting then a.selecting_states <- StateSet.add q a.selecting_states
 532
 533     let add_trans a q s f =
 534       if not (StateSet.mem q a.states) then add_state a q;
 535       let trs = try Hashtbl.find a.transitions q with Not_found -> [] in
 536       let cup, ntrs =
 537         List.fold_left (fun (acup, atrs) (labs, phi) ->
 538           let lab1 = QNameSet.inter labs s in
 539           let lab2 = QNameSet.diff labs s in
 540           let tr1 =
 541             if QNameSet.is_empty lab1 then []
 542             else [ (lab1, Formula.or_ phi f) ]
 543           in
 544           let tr2 =
 545             if QNameSet.is_empty lab2 then []
 546             else [ (lab2, Formula.or_ phi f) ]
 547           in
 548           (QNameSet.union acup labs, tr1@ tr2 @ atrs)
 549         ) (QNameSet.empty, []) trs
 550       in
 551       let rem = QNameSet.diff s cup in
 552       let ntrs = if QNameSet.is_empty rem then ntrs
 553         else (rem, f) :: ntrs
 554       in
 555       Hashtbl.replace a.transitions q ntrs
 556
 557     let finalize a =
 558       complete_transitions a;
 559       normalize_negations a;
 560       compute_rank a;
 561       a
 562   end
 563
 564
 565 let map_set f s =
 566   StateSet.fold (fun q a -> StateSet.add (f q) a) s StateSet.empty
 567
 568 let map_hash fk fv h =
 569   let h' = Hashtbl.create (Hashtbl.length h) in
 570   let () = Hashtbl.iter (fun k v -> Hashtbl.add h' (fk k) (fv v)) h in
 571   h'
 572
 573 let rec map_form f phi =
 574   match Formula.expr phi with
 575   | Boolean.Or(phi1, phi2) -> Formula.or_ (map_form f phi1) (map_form f phi2)
 576   | Boolean.And(phi1, phi2) -> Formula.and_ (map_form f phi1) (map_form f phi2)
 577   | Boolean.Atom({ Atom.node = Move(m,q); _}, b) ->
 578       let a = Formula.mk_atom (Move (m,f q)) in
 579       if b then a else Formula.not_ a
 580   | _ -> phi
 581
 582 let rename_states mapper a =
 583   let rename q = try Hashtbl.find mapper q with Not_found -> q in
 584   { Builder.make () with
 585     states = map_set rename a.states;
 586     starting_states = map_set rename a.starting_states;
 587     selecting_states = map_set rename a.selecting_states;
 588     transitions =
 589       map_hash
 590         rename
 591         (fun l ->
 592           (List.map (fun (labels, form) -> (labels, map_form rename form)) l))
 593         a.transitions;
 594     ranked_states = Array.map (map_set rename) a.ranked_states
 595   }
 596
 597 let copy a =
 598   let mapper = Hashtbl.create MED_H_SIZE in
 599   let () =
 600     StateSet.iter (fun q -> Hashtbl.add mapper q (State.make())) a.states
 601   in
 602   rename_states mapper a
 603
 604
 605 let concat a1 a2 =
 606   let a1 = copy a1 in
 607   let a2 = copy a2 in
 608   let link_phi =
 609     StateSet.fold
 610       (fun q phi -> Formula.(or_ (stay q) phi))
 611       a1.selecting_states Formula.false_
 612   in
 613   Hashtbl.iter (fun q trs -> Hashtbl.add a1.transitions q trs)
 614     a2.transitions;
 615   StateSet.iter
 616     (fun q ->
 617       Hashtbl.replace a1.transitions q [(QNameSet.any, link_phi)])
 618     a2.starting_states;
 619   let a = { a1 with
 620     states = StateSet.union a1.states a2.states;
 621     selecting_states = a2.selecting_states;
 622     transitions = a1.transitions;
 623   }
 624   in compute_rank a; a
 625
 626 let merge a1 a2 =
 627   let a1 = copy a1 in
 628   let a2 = copy a2 in
 629   let a = { a1 with
 630     states = StateSet.union a1.states a2.states;
 631     selecting_states = StateSet.union a1.selecting_states a2.selecting_states;
 632     starting_states = StateSet.union a1.starting_states a2.starting_states;
 633     transitions =
 634       let () =
 635         Hashtbl.iter (fun k v -> Hashtbl.add a1.transitions k v) a2.transitions
 636       in
 637       a1.transitions
 638   } in
 639   compute_rank a ; a
 640
 641
 642 let link a1 a2 q link_phi =
 643   let a = { a1 with
 644     states = StateSet.union a1.states a2.states;
 645     selecting_states = StateSet.singleton q;
 646     starting_states = StateSet.union a1.starting_states a2.starting_states;
 647     transitions =
 648       let () =
 649         Hashtbl.iter (fun k v -> Hashtbl.add a1.transitions k v) a2.transitions
 650       in
 651       Hashtbl.add a1.transitions q [(QNameSet.any, link_phi)];
 652       a1.transitions
 653   }
 654   in
 655   compute_rank a; a
 656
 657 let union a1 a2 =
 658   let a1 = copy a1 in
 659   let a2 = copy a2 in
 660   let q = State.make () in
 661   let link_phi =
 662     StateSet.fold
 663       (fun q phi -> Formula.(or_ (stay q) phi))
 664       (StateSet.union a1.selecting_states a2.selecting_states)
 665       Formula.false_
 666   in
 667   link a1 a2 q link_phi
 668
 669 let inter a1 a2 =
 670   let a1 = copy a1 in
 671   let a2 = copy a2 in
 672   let q = State.make () in
 673   let link_phi =
 674     StateSet.fold
 675       (fun q phi -> Formula.(and_ (stay q) phi))
 676       (StateSet.union a1.selecting_states a2.selecting_states)
 677       Formula.true_
 678   in
 679   link a1 a2 q link_phi
 680
 681 let neg a =
 682   let a = copy a in
 683   let q = State.make () in
 684   let link_phi =
 685     StateSet.fold
 686       (fun q phi -> Formula.(and_ (not_(stay q)) phi))
 687       a.selecting_states
 688       Formula.true_
 689   in
 690   let () = Hashtbl.add a.transitions q [(QNameSet.any, link_phi)] in
 691   let a =
 692     { a with
 693       selecting_states = StateSet.singleton q;
 694     }
 695   in
 696   normalize_negations a; compute_rank a; a
 697
 698 let diff a1 a2 = inter a1 (neg a2)